Variables discretas

En el caso de las variables discretas la función de distribución de probabilidad \(f(x)\) debe cumplir las siguientes propiedades

\(f(x) = P(X=x) > 0\), la probabilidad es un valor mayor a cero
\(\sum_{R_X} f(x) = 1\), la suma de todas las probabilidades es igual a uno

En este caso se puede utilizar la función sumatoria sum(x, na.rm = FALSE), donde x es un vector y na.rm indica si el vector tienen datos faltantes.

Ejemplo

Para la función \(f(x)\)

\[f_{_{X}}(x) = \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\binom{40}{x}(0.7)^{x}(0.3)^{40-x} & \mbox{si } x=0,1,2,\ldots,40\\ & \\ 0 & \mbox{en otro caso } \end{matrix}\right. \]

# Declaración de la función
fw=function(w){choose(40,w)*0.70^w*0.30^(40-w)}
w=0:40

# Gráfico de la función
plot(w, fw(w), pch=19, col="#BC2B6A", las=1)
grid()

Para verificar que la suma de todas las probabilidades es igual a uno

fw=function(w){choose(40,w)*0.70^w*0.30^(40-w)}
w=0:40
sum(fw(w))

[1] 1

Para calcular la probabilidad \(P(20 \leq X \leq 30)\)

sum(fw(20:30))

[1] 0.8016552

Valor esperado

fw=function(w){choose(40,w)*0.70^w*0.30^(40-w)}
w=0:40
Ex=sum(fw(w)*w)
cat("E[X] = ",Ex)

E[X] =  28

Varianza

fw=function(w){choose(40,w)*0.70^w*0.30^(40-w)}
w=0:40
Ex=sum(fw(w)*w)
Ex2=sum(fw(w)*w^2)
Vx=Ex2-Ex^2
cat("V[X] = ",Vx)

V[X] =  8.4

Variables continuas

Integración

El concepto de integración se utiliza en probabilidad para determinar el área bajo la curva de una función de densidad \(f(x)\) para una variable aleatoria continua.

Dos de las propiedades de una \(f(x)\) son:

\(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{4} f(x) \:dx = 1\)
\(P(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) \:dx\)

Estas verificaciones se pueden realizar en R con dos instrucciones:

Construcción de la función en R
Realizar la integral : para ello utilizamos la función integrate que tiene los parámetros, integrate( f, lower, upper)
- f: la función
- lower : limite inferior . Puede ser un número o -Inf
- upper : limite superior . Puede ser un número o +Inf

integrate(function(x), lower = 0, upper = 1)

Ejemplo

Para la función \(f(x)\)

\[f_{_{X}}(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac{1}{4} e^{-x/4} & \mbox{ , } x \geq 0\\ & \\ 0 & \mbox{en otro caso } \end{matrix}\right. \]

\[P(X < 5)\]

# Declaración de la función
fx=function(x){1/4*exp(-x/4)}

# Representación gráfica de la función
x=0:20
plot(x,fx(x), type="l", col="#BC2B6A", lwd=5)

# Área de integración
x1=seq(0,5,0.01)
f1=fx(x1)
polygon(c(0,x1,5),c(0,f1,0),col="skyblue")

# Integral entre 5 y 15 : P( X < 5)
integrate(fx, 0,5)

0.7134952 with absolute error < 7.9e-15

Valor esperado

\[E(X) = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x f(x)dx\]

En este caso la función se multiplica por \(x\)

Mx=function(x){1/4*exp(-x/4)*x}
Ex=integrate(Mx, 0, Inf)
cat("E[X] = ", Ex$value,"\n")

E[X] =  4

Varianza

\[V[X] = E[X^{2}]-(E[X])^{2} = E[X^{2}]-\mu^{2}\]

fx=function(x){1/4*exp(-x/4)}
Mx1=function(x){1/4*exp(-x/4)*x}
Mx2=function(x){1/4*exp(-x/4)*x^2}
Ex=integrate(Mx1, lower=0,upper=Inf)
Ex2=integrate(Mx2, lower=0,upper=Inf)

cat("V[X] = ", Ex2$value-Ex$value^2)

V[X] =  16

fx=function(x){1/4*exp(-x/4)}
Mx1=function(x){1/4*exp(-x/4)*x}
Mx2=function(x){1/4*exp(-x/4)*x^2}
Ex=integrate(Mx1, lower=0,upper=Inf)
Ex2=integrate(Mx2, lower=0,upper=Inf)
cat("E[X] = ", Ex$value,"\n")

E[X] =  4

cat("V[X] = ", Ex2$value-Ex$value^2)

V[X] =  16

Caso Discreto-Discreto

Ejemplo

El número de veces que falla una máquina \(X\) con \(R_{X}=\{1,2,3\}\) durante un día y el número de veces en que el operario requiere llamar al técnico para su arreglo esta dado por \(Y\) con \(R_{Y}=\{1,2,3\}\). Su función de probabilidad conjunta para \(X,Y\) está dada por :

			\(x\)
	\(f(x,y)\)	1	2	3
\(y\)	1	0.05	0.05	0.10
	2	0.050	0.10	0.35
	3	0	0.20	0.10

Función de distribución de probabilidad conjunta

fxy=matrix(c(0.05,0.05,0,0.05,0.10,0.20,0.10,0.35,0.10), ncol=3 )
fxy

     [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.05 0.05 0.10
[2,] 0.05 0.10 0.35
[3,] 0.00 0.20 0.10

sum(fxy)

[1] 1

Funciones distribución marginales

fxy=matrix(c(0.05,0.05,0,0.05,0.10,0.20,0.10,0.35,0.10), ncol=3 )
fxy=addmargins(fxy,c(1,2))
colnames(fxy)=c("1","2","3","h(y)")
rownames(fxy)=c("1","2","3","g(x)")
fxy

        1    2    3 h(y)
1    0.05 0.05 0.10  0.2
2    0.05 0.10 0.35  0.5
3    0.00 0.20 0.10  0.3
g(x) 0.10 0.35 0.55  1.0

Representación gráfica de \(f(x,y)\)

Para construir la gráfica de X y Y debemos crear los vectores

\(x\)	1	1	1	2	2	2	3	3	3
\(y\)	1	2	3	1	2	3	1	2	3
\(f(x,y)\)	0.15	0.05	0	0	0.20	0.35	0	0.10	0.15

# x=1:3
# y=1:3
# x=rep(x,each=3)
# y=rep(y,3)
# fxy=c(0.15,0.05,0, 0,0.20,0.35, 0,0.10,0.15)
# 
# plot3D::scatter3D(x, y, fxy,
#           colvar = NULL, 
#           col = "blue",
#           pch = 19, cex = 1.5,
#           phi = 20, theta = 60,  
#           zlab="f(xy)", xlab="x", ylab="y",
#           bty = "b2",
#           col.panel ="steelblue",
#           col.grid = "darkblue",
#           add_lines=TRUE)
#

Funciones de distribución marginal

fxy=matrix(c(0.05,0.05,0,0.05,0.10,0.20,0.10,0.35,0.10), ncol=3 )
fxy=addmargins(fxy,c(1,2))
colnames(fxy)=c("1","2","3","h(y)")
rownames(fxy)=c("1","2","3","g(x)")
fxy

        1    2    3 h(y)
1    0.05 0.05 0.10  0.2
2    0.05 0.10 0.35  0.5
3    0.00 0.20 0.10  0.3
g(x) 0.10 0.35 0.55  1.0

Covarianza y Correlación

x=c(0,1,2) 
y=c(0,1,2)
fxy=matrix(c(0.15,0.05,0,0,0.20,0.35,0,0.10,0.15), ncol=3 )

fxy=addmargins(fxy,c(1,2))
colnames(fxy)=c("1","2","3","h(y)")
rownames(fxy)=c("1","2","3","g(x)")

fxy=as.table(fxy)
gx=fxy[,4]
hy=fxy[4,]


Ex=sum(x*gx)
Ex2=sum(x^2*gx)
Vx=Ex2-(Ex)^2

Ey=sum(y*hy)
Ey2=sum(y^2*hy)
Vy=Ey2-(Ey)^2

x=rep(x,each=3)
y=rep(y,3)
fxy=c(0.15,0.05,0,0,0.20,0.35,0,0.10,0.15)
Exy=sum(x*y*fxy)
CovXY=Exy-Ex*Ey
Rho=CovXY/sqrt(Vx*Vy)

E(X)    =  1.35 
E(X2)   =  2.35 
V(X)    =  0.5275 
E(Y)    =  1.05 
E(Y2)   =  1.55 
V(Y)    =  0.4475 
E(XY)   =  1.7 
Cov(XY) =  0.2825 
Rho     =  0.5814478

Caso Continuo-continuo

Ejemplo

Una empresa prestadora se servicios a domicilio tienen dos lineas telefónicas para que los clientes puedan realizar sus pedidos. Sea X y Y la proporción del tiempo en que las lineas se encuentran ocupadas. La función de densidad conjunta que modela \(f(x,y)\) esta dada por:

\[f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac{3}{2}(x^{2}+y^{2}) & \mbox{ } 0 \leq x \leq 1\\ & \mbox{ } 0 \leq y \leq 1 \\ &\\ 0 & \mbox{ en otro caso }\end{matrix}\right. \]

Inicialmente se verifica la condición :

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{3}{2}(x^{2}+y^{2}) \:dx \:dy = 1\)

library(cubature) 
fxy <- function(x) { 3/2*(x[1]^2 + x[2]^2)} # 
adaptIntegrate(fxy, lowerLimit = c(0, 0), upperLimit = c(1, 1))

$integral
[1] 1

$error
[1] 2.220446e-16

$functionEvaluations
[1] 17

$returnCode
[1] 0

_{basado en : http://homepages.math.uic.edu/~jyang06/stat401/handouts/handout8.pdf}

Ahora su representación gráfica

x=seq(0,1,length=30)
y=seq(0,1,length=30)
fxy=function(x,y){3/2*(x^2+y^2)}
z=outer(x, y, fxy)
persp(x,y,z,theta = 40, phi = 10,expand=0.5, col = "#FF7F00",
      xlab = "x", ylab ="y", zlab = "f(x,y)",
      main=" ", col.main="blue")

_{Nota: basada en : https://estadistica-dma.ulpgc.es/cursoR4ULPGC/9e-grafPersp.html}

Variable aleatoria

Métodos y Simulación Estadística

Variables discretas

Valor esperado

Varianza

Variables continuas

Integración

Valor esperado

Varianza

Caso Discreto-Discreto

Funciones distribución marginales

Representación gráfica de \(f(x,y)\)

Funciones de distribución marginal

Covarianza y Correlación

Caso Continuo-continuo

Ejemplo