Variables conjuntas
Métodos y Simulación Estadística
Cuando se estudian dos variables al tiempo se conforma una variable aleatoria bivariada \((X,Y)\) que se define en un rango formado en un plano y cuyo valor de probabilidad genera un volumen como se muestra en la siguiente figura:
Figura 2.15 Distribución normal bivariada
Introducción
Los resultados de un experimento pueden ser causa de múltiples variables como ocurre con el precio de un producto y sus ventas, el tiempo de preparación de un examen y su nota final, la cantidad de arena y de cemento en concreto, la cantidad de abono suministrado a una planta y su producción final. En estos casos se requiere una función de densidad que describa la variación de la probabilidad de ocurrencia de ambas variables, probabilidad que describe el comportamiento conjunto de las variables.
La función que tiene en cuenta efectos múltiples de variables aleatorias se denomina distribución de probabilidad conjunta. esta función puede ser una combinación de variables continua-continua, discreta-discreta o continua-discreta, dependiendo del experimento, en el caso bivariado.
En esta guía se presentan los casos : discreta-discreta y el caso continua-continua.
Discreto-Discreto
Función de distribución de probabilidad conjunta
Si se dispone de dos variables aleatorias se puede definir distribuciones bidimensionales de forma semejante al caso unidimensional. Para el caso discreto-discreto se define:
Función de distribución de probabilidad conjunta
\[f_{_{X,Y}}(x,y)=P(X=x,Y=y)\]
la cual debe cumplir con las siguientes características:
\(\displaystyle\sum\limits_{x=x_{(1)}}^{x_{(n)}}\displaystyle\sum\limits_{y=y_{(1)}}^{y_{(n)}}f_{_{X,Y}}(x,y)=1\)
\(f(x,y)\geq 0\)
Ejemplo
El número de veces que falla una máquina \(X\) con \(R_{X}=\{1,2,3\}\) durante un día y el número de veces en que el operario requiere llamar al técnico para su arreglo esta dado por \(Y\) con \(R_{Y}=\{1,2,3\}\). Su función de probabilidad conjunta para \(X,Y\) está dada por :
Tabla 2.5 Distribución conjunta de X,Y
| \(x\) | ||||
|---|---|---|---|---|
| \(f(x,y)\) | 1 | 2 | 3 | |
| \(y\) | 1 | 0.05 | 0.05 | 0.10 |
| 2 | 0.05 | 0.10 | 0.35 | |
| 3 | 0 | 0.20 | 0.10 |
Para verificar que \(f(xy)\) conforme una función de distribución de probabilidad conjunta verificamos que la suma de todas las probabilidades de 1
fxy=matrix(c(0.05,0.05,0,0.05,0.10,0.20,0.10,0.35,0.10), ncol=3 )
fxy [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.05 0.05 0.10
[2,] 0.05 0.10 0.35
[3,] 0.00 0.20 0.10sum(fxy)[1] 1El gráfico de la función de distribución conjunta se puede realizar de la siguiente forma:
x=c(0,0,0,1,1,1,2,2,2)
y=c(0,1,2,0,1,2,0,1,2)
fxy=c(0.05,0.05,0, 0.05,0.10,0.20, 0.10,0.35,0.10)
plot3D::scatter3D(x, y, fxy,
colvar = NULL,
col = "blue",
pch = 19, cex = 1,
phi = 15, theta = 45,
zlab="f(xy)", xlab="x", ylab="y",
bty = "b2",
col.panel ="steelblue",
col.grid = "darkblue",
add_lines=TRUE)
Probabilidad marginal
A partir de la función de distribución conjunta se pueden obtener las distribuciones marginales correspondientes a las variables \(X\) y \(Y\), denotadas por \(g(x)\) y \(h(y)\) respectivamente.
Si \(X\), \(Y\) son dos variables aleatorias discretas, entonces se puede definir la función de probabilidad marginal de \(X\) (función de probabilidad de \(X\) al margen de \(Y\)) como
\[g(x)=f_{_{X}}(x)=\sum_{y=y_{(1)}}^{y_{(n)}}f_{_{X,Y}}(x,y)\]
La función de probabilidad marginal de \(Y\) (función de probabilidad de \(Y\) al margen de \(X\)) como \[h(y)=f_{_{Y}}(y)=\sum_{x=x_{(1)}}^{x_{(n)}}f_{_{X,Y}}(x,y)\]
Ejemplo
Para el ejemplo podemos establecer las funciones marginales para las variables \(X\) y \(Y\) sumando por columnas en el caso de \(Y\) y por filas en el caso de la variable \(X\)
fxy=matrix(c(0.05,0.05,0,0.05,0.10,0.20,0.10,0.35,0.10), ncol=3 )
gx=addmargins(fxy,1)
rownames(gx)=c("1","2","3","g(x)")
gx [,1] [,2] [,3]
1 0.05 0.05 0.10
2 0.05 0.10 0.35
3 0.00 0.20 0.10
g(x) 0.10 0.35 0.55Ahora para el caso de \(h(y)\)
fxy=matrix(c(0.05,0.05,0,0.05,0.10,0.20,0.10,0.35,0.10), ncol=3 )
hy=addmargins(fxy,2)
colnames(hy)=c("1","2","3","h(y)")
hy 1 2 3 h(y)
[1,] 0.05 0.05 0.10 0.2
[2,] 0.05 0.10 0.35 0.5
[3,] 0.00 0.20 0.10 0.3Probabilidad acumulada
\[F_{_{X,Y}}(x,y)=\sum_{-\infty}^{x} \sum_{-\infty}^{y} f(x,y)\]
Ejemplo
Para el ejemplo se construye la función de distribución acumulada sumando tanto por columna como fila hasta la posición de los valores observados, por ejemplo .
\[ \begin{equation} \begin{array}{rl} F(2,2) = & \sum_{x=1}^{2} \sum_{y=1}^{2} f(x,y) \\ = & f(1,1) + f(1,2) + f(2,1) + f(2,2) \\ = &0.05 + 0.05 + 0.05 + 0.10 \\ = & 0.25 \end{array} \end{equation} \]
fxy=matrix(c(0.05,0.05,0,0.05,0.10,0.20,0.10,0.35,0.10), ncol=3 )
fxy=addmargins(fxy,c(1,2))
colnames(fxy)=c("1","2","3","h(y)")
rownames(fxy)=c("1","2","3","g(x)")
fxy 1 2 3 h(y)
1 0.05 0.05 0.10 0.2
2 0.05 0.10 0.35 0.5
3 0.00 0.20 0.10 0.3
g(x) 0.10 0.35 0.55 1.0Fxy=matrix(c(0.05,0.10,0.10,0.10,0.25,0.45,0.20,0.70,1.00), ncol=3 )
colnames(Fxy)=c("1","2","3")
rownames(Fxy)=c("1","2","3")
Fxy 1 2 3
1 0.05 0.10 0.2
2 0.10 0.25 0.7
3 0.10 0.45 1.0Probabilidad condicional
En el caso de la función de probabilidad condicional se opera de la misma forma como se definió la probabilidad condicional:
\[P(B|A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\]
Para el caso de las funciones de distribución de probabilidad se opera de la misma manera :
Función de densidad condicional
La función de densidad condicional de \(X\) dado que \(Y=y_0\) está dada por: \[\begin{equation*} f_{_{X|Y}}(x|y_{0})=\left\lbrace \begin{array}{ccl} \dfrac{f_{_{X,Y}}(x,y_0)}{h(y_0)}&;& h(y_0) > 0\\ &&\\ 0 &;&\mbox{en otro caso} \end{array} \right. \end{equation*}\]
La función de densidad condicional de \(Y\) dado que \(X=x_0\) está dada por: \[\begin{equation*} f_{Y|X}(y|x_{0})=\left\lbrace \begin{array}{ccl} \dfrac{f_{_{X,Y}}(x_0,y)}{g(x_0)}\:&;&\:g(x_0)>0\\ &&\\ 0\:&;&\:\mbox{en otro caso} \end{array} \right. \end{equation*}\]
Ejemplo
Para ilustrarlo utilizamos la función del Ejemplo 1 para la función condicional \(f(x|y=2)\)
| \(x\) | \(h(y)\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x,y)\) | 1 | 2 | 3 | ||
| \(y\) | 2 | 0.050 | 0.10 | 0.35 | 0.50 |
| \(x\) | ||||
|---|---|---|---|---|
| \(f(x|y=2)\) | 1 | 2 | 3 | |
| \(x|y=2\) | \(\dfrac{0.05}{0.50}=0.10\) | \(\dfrac{0.10}{0.50}=0.20\) | \(\dfrac{0.35}{0.50}=0.70\) |
Caso Continuo-Continuo
En el caso de variables continuas se utilizan los mismo conceptos vistos en el caso discreto-discreto, haciendo el cambio de las sumatorias por integrales definidas.
Función de densidad conjunta
En particular para \(f_{_{X,Y}}(x,y)\) definida en una región \(R\), se cumple que la integral doble de \(f_{_{X,Y}}(x,y)\) en la región \(R\) proporciona la probabilidad de que las variables \(X\) y \(Y\) asuman los valores \((x,y)\) en la región \(R\). Esta integral puede interpretarse como el volumen bajo la superficie \(f_{_{X,Y}}(x,y)\) en la región \(R\).
Función de densidad conjunta
La función de densidad conjunta para las variables \(X\) y \(Y\) \(f(x,y)\) debe cumplir las siguientes condiciones.
\(f(x,y) \geq 0\), para todo valor de \((x,y)\)
\(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \:dx \:dy = 1\)
Ejemplo
La cantidad de ácido (\(X\)) y la cantidad de ácido (\(Y\)), en litros, que se vierten en una mezcla se modela con la función \(f_{XY}\) como se presenta a continuación \(f(x,y)\) esta dada por:
\[f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} (x+y) & \mbox{ } 0 \leq x \leq 1\\ & \mbox{ } 0 \leq y \leq 1 \\ &\\ 0 & \mbox{ en otro caso }\end{matrix}\right.\]
Inicialmente debemos de verificar que se trata de una función de densidad
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\int_{0}^{1} (x+y) \:dx \:dy = \displaystyle\int_{0}^{1} \Bigg( \dfrac{x^{2}}{2}+ yx \Bigg|_{0}^{1} \Bigg) \:dy\)
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \Bigg( \dfrac{{1}}{2}+ y \Bigg) \:dy =\Bigg(\dfrac{1}{2}y + \dfrac{y^{2}}{2} \Bigg|_{0}^{1} \Bigg) = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2} = 1\)
library(cubature)
fxy<- function(x){(x[1]+ x[2])}
Ifxy=adaptIntegrate(fxy,lowerLimit=c(0,0),upperLimit=c(1,1))
Ifxy$integral[1] 1Su representación gráfica
Figura 2.17 Distribución conjunta \(f(x,y)= x+y\) para \(0 \leq x \leq 1\) y \(0 \leq y \leq 1\)
Densidad marginales
En el caso continuo- continuo las distribuciones de densidad marginales se pueden encontrar a partir de la función de densidad conjunta
Función de densidad marginal
Si \(X\) y \(Y\) son dos variables aleatorias continuas, entonces se define:
La función de densidad marginal de \(X\) como: \[g(x)=f_{_{X}}(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{_{X,Y}}(x,y)\:dy\]
La función de densidad marginal de \(Y\) como:
\[h(y)=f_{_{Y}}(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{_{X,Y}}(x,y)\:dx\]
Ejemplo
\[g(x) = \displaystyle\int_{0}^{1} (x + y) \:dy = \bigg( xy + \dfrac{y^{2}}{2} \bigg) \Bigg|_{0}^{1} = \bigg(x + \dfrac{1}{2}\bigg)\]
\[g(x) = \left \{ \begin{matrix} \bigg(x+ \dfrac{1}{2}\bigg) & \mbox{ } 0 \leq x \leq 1\\ &\\ 0 & \mbox{ en otro caso }\end{matrix}\right. \]
\[h(y)=\displaystyle\int_{0}^{1} (x+y)\:dx =\bigg(\dfrac{1}{2} + yx \bigg) \Bigg|_{0}^{1} = \bigg(\dfrac{1}{2} + y \bigg)\]
\[h(y) = \left \{ \begin{matrix} \bigg(y + \dfrac{1}{2} \bigg) & \mbox{ } 0 \leq y \leq 1\\ &\\ 0 & \mbox{ en otro caso }\end{matrix}\right. \]
Función de densidad de probabilidad conjunta acumulada
Función de densidad conjunta acumulada
Para \(F_{_{X,Y}}(x,y)=P(X\leq x, Y\leq y)\) se tiene en el caso de variables aleatorias continuas
\[F_{_{X,Y}}(x,y)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(s,t) \:ds \:dt\]
Propiedades de la función de distribución conjunta
\(F_{_{X,Y}}(x,y)\) es una función no decreciente.
\(F_{_{X,Y}}(x,-\infty)=0\)
\(F_{_{X,Y}}(-\infty,y)=0\)
\(F_{_{X,Y}}(-\infty,x)=0\)
\(F_{_{X,Y}}(\infty,\infty)=1\)
\(F_{_{X,Y}}(\infty,y)=F_{Y}(y)F_{_{X,Y}}(x,\infty)=F_{X}(x)\)
\(P(x_1<X\leq x_2, y_1<Y\leq y_2)=F_{_{X,Y}}(x_2,y_2)-F_{_{X,Y}}(x_1,y_2)-F_{_{X,Y}}(x_2,y_1)+F_{_{X,Y}}(x_1,y_1)\)
Para todo par de variables aleatorias continuas, si \(F_{_{XY}}\) tiene derivadas parciales de orden superior a dos, se cumple que:
\(f_{_{X,Y}}(x,y)=\frac{\partial^{2} F_{_{X,Y}}(x,y)}{\partial x \hspace{.2cm}\partial y}\)
Función de densidad condicionales
Función de densidad condicional
La función de densidad condicional de \(X\) dado que \(Y=y_0\) está dada por:
\[\begin{equation*} f_{_{X|Y}}(x|y_{0})=\left\lbrace \begin{array}{ccl} \dfrac{f_{_{X,Y}}(x,y_0)}{h(y_0)}&;& h(y_0) > 0\\ &&\\ 0 &;&\mbox{en otro caso} \end{array} \right. \end{equation*}\]
La función de densidad condicional de \(Y\) dado que \(X=x_0\) está dada por:
\[\begin{equation*} f_{Y|X}(y|x_{0})=\left\lbrace \begin{array}{ccl} \dfrac{f_{_{X,Y}}(x_0,y)}{g(x_0)}\:&;&\:g(x_0)>0\\ &&\\ 0\:&;&\:\mbox{en otro caso} \end{array} \right. \end{equation*}\]
Covarianza y correlación
Para definir el concepto de covarianza se requiere el concepto de valor esperado conjunto:
Caso Discreta-Discreta
\[E[X,Y]=\displaystyle\sum_{R_{X}}\displaystyle\sum_{R_{Y}} xy f(x,y)\]
Caso Continua-Continua
\[E[XY]= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x.y.f(x,y) \,dx \,dy\]
Covarianza entre las variables X,Y
\[COV[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]\]
Correlación entre las variables X,Y
\[\rho=\displaystyle\frac{COV[XY]}{\displaystyle\sqrt{V[X].V[Y]}} \] La correlación es una medida que mide el grado de asociación lineal entre dos variables. \(-1 \leq \rho \leq 1\)
Tabla 2.5 Escala para interpretación para la correlación
Figura 2. 16 Correlaciones negativas (a) \(\rho = -1.0\). \(\hspace{.5cm}\) (b) \(\rho = -0.90\). (c) \(\rho = -0.75\). \(\hspace{.5cm}\)(d) \(\rho = -0.50\). \(\hspace{.5cm}\) (e) \(\rho = -0.25\). \(\hspace{.5cm}\) (f) \(\rho = 0.0\).
Figura 2. 17 Correlaciones positivas (a) \(\rho = 0.10\).\(\hspace{.5cm}\) (b) \(\rho = 0.25\). (c) \(\rho = 0.50\).\(\hspace{.5cm}\) (d) \(\rho = 0.75\). \(\hspace{.5cm}\) (e) \(\rho = 0.90\). \(\hspace{.5cm}\) (f) \(\rho = 1.0\).
Independencia
Independencia de variables
Sean \(X\) y \(Y\) dos variables aleatorias discretas o continuas con función de probabilidad conjunta \(f(x,y)\) y funciones de probabilidad marginales \(g(x)\) y \(h(y)\), respectivas, entonces se dice que las variables X y Y son estadísticamente independientes si:
\[f(x,y)= g(x) h(y) \]
Ejemplo
\[(x+y) \neq \bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)
\bigg(y + \dfrac{1}{2}\bigg) = xy + \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} +
\dfrac{1}{4} \]
\[f(x,y) \neq g(x) h(y) \]
Por tal razón las variables \(X\) y \(Y\) no son independientes.