Variable aleatoria
Métodos y Simulación Estadística
Introducción
El concepto de variable aleatoria constituye uno de los principales pilares de la probabilidad y estadística. A este concepto se pueden asociar dos paradigmas de evolución histórica según J.A. Alberth & B. Ruiz (2013) , El primero basada en el resultado de fenómenos aleatorios y por otro lado el proceso que relaciona los conjuntos de espacio muestral y sus respectivas probabilidades, para definir el concepto de variable aleatoria como función de números reales y el espacio para el sustento matemático.
Este concepto está relacionado a diferentes contextos donde se requiere dar respuesta a preguntas relacionadas con la ocurrencia o no de fenómenos aleatorios que eventualmente se presentarán en el futuro, como por ejemplo:
¿Cuánto tiempo se tarda un estudiante en ir de su casa a la universidad?
¿Cuál será el resultado en mi próximo examen de estadística?
El dueño de la cafetería se puede preguntar ¿Cuantas botellas de agua se venderán esta semana?
¿Cuánto tiempo tardaría la entrega de un paquete una empresa de mensajería?
¿Cuánto tiempo dura la bombilla de un vehículo?
¿Qué diámetro tendrá la perforación de una máquina en una lámina de acero que hace parte de una puerta de un vehículo?
¿Cuantos mensajes recibiré hoy por WhatsApp?
En todos los casos se trata de preguntas que tienen diferentes respuestas, o que no tienen un único valor como respuesta. En este documento se estudiará el concepto de variable aleatoria y mediante la definición de una función matemática que nos permita caracterizar su comportamiento, realizaremos diferentes cálculos de probabilidades de interés. Para ello será necesario retomar conocimientos de cálculo integral que serán expuestos en su momento mediante funciones de fácil manejo.
En esta unidad se tratará el caso univariado discreto, luego el caso continuo, con sus principales características, conceptos relacionados con los vistos en el modulo anterior.
Definición Variable aleatoria
Una variable aleatoria \(X\) es una función que asigna a cada valor de un espacio muestral \(S\) un número . El conjunto formado por estos números conforman un subconjunto de los reales llamado rango de la variable \(X\), (\(R_{_{X}}\))
Las variables aleatorias se clasifican teniendo en cuenta las características de su rango en discretas, continuas. La distribución de una variable aleatoria será *univariada si se estudia el comportamiento de una sola variable y serán multivariadas** si se considera el comportamiento conjunto de varias variables definidas sobre el mismo espacio muestral.
Tipos de variables
Una variable \(X\) se considera DISCRETA si su rango \(R_{_{X}}\) es un conjunto finito o infinito numerable de valores.
Se considera CONTINUA si su rango \(R_{_{X}}\) es un conjunto de valores infinito no numerable y generalmente corresponde a unión de intervalos.
Ejemplo
Un experimento aleatorio \(E\), consiste en lanzar una moneda balanceada al aire tres veces y observar el orden de caras (\(c\)) y sellos (\(s\)) que se obtienen en los tres lanzamientos. El espacio muestral \(S\) de \(E\), estará dado por: |
\[S =\{(s,s,s),(s,s,c),(s,c,s),(s,c,c),(c,s,s),(c,s,c),(c,c,s),(c,c,c)\} \]
Figura 2.13 Relación espacio muestral, rango, variable aleatoria
Donde :
\(X\) es la variable que asigna a cada resultado el número de caras en los tres lanzamientos de la moneda.
\(R_{_{X}}=\{0,1,2,3\}\) determinado por la regla de asignación: número de caras en los tres lanzamientos de la moneda y corresponde al rango de valores que puede tomar la variable aleatoria.
\(f_{_{X}}(x)=P(X=x)\) conforma la función que asigna a cada valor de la variable una probabilidad
En este ejemplo :
- \((X=0)=\{(s,s,s)\}\) ;
- \((X=1)=\{(s,s,c),(s,c,s),(c,s,s)\}\) ;
- \((X=2)=\{(s,c,c),(c,s,c),(c,c,s) \}\) y
- \((X=3) =\{(c,c,c) \}\).
Bajo el supuesto que la moneda es balanceada, se cumple que los resultados en \(S\) son igualmente posibles y por lo tanto:
\[f_{_{X}}(0) =P(X=0)= \frac{1}{8} \hspace{.2cm} ,\hspace{.5cm} f_{_{X}}(1) = P(X=1)=\frac{3}{8},\] \[f_{_{X}}(2) = P(X=2)=\frac{3}{8}\hspace{.2cm} ,\hspace{.5cm} f_{_{X}}(3) =P(X=3)= \frac{1}{8}\]
Variables discretas
Como se mencionó anteriormente una variable aleatoria se considera como DISCRETA cuando el conjunto de posibles valores que puede tomar la variables es un conjunto finito o infinito numerable. En la gran mayoría de los casos este conjunto corresponde a los números enteros.
Para caracterizar la variable se define la función de distribución de probabilidad que modela la asignación de las probabilidades
Función de distribución de probabilidad
Para \(X\) un variable aleatoria discreta, su función de distribución de probabilidad estará dada por \(f(x)\), la cual proporciona las probabilidades asociadas a todos los valores de su rango \(R_{X}\) . Esta función debe cumplir las siguientes propiedades:
\(f(x) = P(X=x) \geq 0\)
\(\sum_{R_X} f(x) = 1\)
Por lo general este tipo de variables proceden del conteo y empiezan por número de….
Ejemplo
Las siguientes variables se clasifican como variables aleatorias discretas :
\(X\) : Número de llamadas que entran a un conmutador diariamente
\(Y\): Número de personas contagiadas por Covid 19 durante un día
\(Z\): Número de quejas reportadas a una sucursal bancaria en un día
\(W\): Número de accidentes producidos en una ciudad
\(S\): Número de huevos producidos diariamente en una avícola
\(T\): Número de hijos en una familia
\(M\): Número de mensajes enviados en un grupo de Whatsapp
Como complemento de \(f(x)\) y debido a que puede resultar más interesante calcular probabilidades de rangos de valores se define la función de distribución acumulada \(F(x)\)
Función de probabilidad acumulada
Sea \(X\) una variable aleatoria continua con función de densidad \(f_{X}(x)\), se define la función de distribución acumulada, \(F_{X}(x)\), como:
\[F(x)=P(X\leq x)=\sum _{t \leq x}f(t)\]
Ejemplo
El restaurante “Asados y algo más” solo da servicio mediante reservas. De acuerdo con los registros diarios en los últimos diez años se sabe que el treinta por ciento de las personas que reservan no llegan al restaurante. El restaurante tiene veinte puestos y acepta cuarenta reservas. La función de distribución probabilidad que modela el número de personas que llegan al restaurante es \(f\), dada por:
\[f_{_{X}}(x) = \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\binom{20}{x}(0.7)^{x}(0.3)^{20-x} & \mbox{si } x=0,1,2,\ldots,20\\ & \\ 0 & \mbox{en otro caso } \end{matrix}\right.\]
Figura 2.14 Distribución acumulada binomial \(n=20\), \(p=0.70\)
\(P(X = 0) = 0\)
\(P(X = 15) = 0.178863\)
\(P(X < 15) = P(X \leq 14) = 0.5836\)
\(P(X > 15) = 1 - P(X \leq 14) = 0.4164\)
Variables continuas
Como se mencionó se considera una variable como continua cuando el conjunto de valores que puede tomar es un conjunto infinito no numerable, es decir que siempre podrá haber un valor entre dos valores de ella.
Para este caso la probabilidad se puede modelar a través de una función continua, la cual se puede visualizar al construir un gráfico de densidad a partir de una muestra de ellos. A esta función se le llama función de densidad de probabilidad.
Ejemplo
En el caso de las variables aleatorias continuas por lo general proceden de una medición como por ejemplo:
T: Tiempo que tarda un estudiante en responder un examen
P: Peso de un bebe recién nacido
E: Edad de una persona
V: Tiempo que tarda un vehículo en requerir una reparación de su motor
D: Diámetro de un agujero realizado en una lamina de acero
X: Cantidad de azúcar contenida en un refresco
C: Proporción de cemento en concreto
Función de densidad de probabilidad
La función de densidad de probablidad se define como \(f(x)\), tal que cumpla las siguientes condiciones:
\(f(x) \geq 0\)
\(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\:dx =1\)
\(P(a < X < b)=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\:dx\)
Para el caso continuo la función de distribución de probabilidad corresponde a una integral
Función de probabilidad acumulada
\(F_{_X}(x)=P(X \leq x)=\displaystyle\int \limits_{-\infty}^{x}f_{_X}(t)\:dt\)
\(F(x) = P(X \leq x) = P(X < x)\)
Ejemplo
Con base en información histórica una compañía que fabrica lavadoras determinó que el tiempo \(Y\) (en años) para que el electrodoméstico requiera una reparación mayor se obtiene mediante la siguiente función de densidad de probabilidad:
\[f_{_{X}}(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac{1}{4} e^{-x/4} & \mbox{ , } x \geq 0\\ & \\ 0 & \mbox{en otro caso } \end{matrix}\right.\]
Figura 2.14 Distribución exponencial \(\lambda = 1/4\)
Para tener la seguridad que \(f(x)\) puede ser una función de densidad de probabilidad se debe verificar
fy=function(y){1/4*exp(-y/4)}
integrate(fy, lower=0,upper=Inf)
1 with absolute error < 2.7e-05
\[\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{4} e^{-x/4} \:dx =1\]